翻了各课件，发现……

某个英文网站 是这么说的：

There is a way to calculate the GCD and resultants in $O(n{\log }^{2}n)$. To do this you should note that if you consider $a(x)=a_0+x^k{a}_1$ and $b(x)=b_0+x^k{b}_1$ where $k=min(\mathrm{deg}a,\mathrm{deg}b)/2$ then basically the first few operations of Euclidean algorithm on $a(x)$ and $b(x)$ are defined by the Euclidean algorithm on $a_1(x)$ and $b_1(x)$ for which you may also calculate GCD recursively and then somehow memorize linear transforms you made with them and apply it to $a(x)$ and $b(x)$ to lower the degrees of polynomials. Implementation of this algorithm seems pretty tedious and technical thus it's not considered in this article yet.

你如果脑子一冲，傻乎乎地去直接分治一半算出线性变换，DEBUG 一下会让你冷静过来…… 你发现这个线性变换应用到整体多项式上没有任何效果……

而 Picks 的 Introduction to Polynomials 也写的比较晦涩，因此在这里稍微详细地谈谈，以正视听……

给多项式 $a,b\in \mathbb{F}[z]$，我们原本的问题是求 GCD 以及扩展欧几里得的解：$x,y\in \mathbb{F}[z],ax+by=gcd(a,b)$

由于多项式取模最坏情况下每次只让一个多项式的度数减小，这种方法的复杂度最好也就是 $\mathrm{\Theta }((\mathrm{deg}a)(\mathrm{deg}b))$ 的。

我们考虑求解一个中间情况叫做 HALF-GCD，设 $k=min(\mathrm{deg}a,\mathrm{deg}b)$，这个东西让我们对于 $a,b$ 能得到一个矩阵 $\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right)$，其中 $\mathrm{deg}x\le \frac{k}{2}+o(k)$，且 $\mathrm{deg}(a{x}_1+b{y}_1),\mathrm{deg}(a{x}_2+b{y}_2)\le \frac{k}{2}+o(k)$（除非它们的 $gcd$ 的 $\mathrm{deg}$ 比这个大）。也就是说这个 HALF-GCD 可以理解成是将欧几里得过程执行到一半的产物。

睿智的你想必已经意识到了这个东西如何得出真正的欧几里得的解。我们只需要调用一次这个算法，然后就规约到了一个 $\frac{n}{2}$ 的子问题（可能需要额外支付 $O(M(n))$ 时间用于调整较大的多项式），那么我们就得到了一个 $\mathrm{\Theta }(M(n))+T(n)+T(n/2)+T(n/4)+\cdots$ 的方法。

那么接下来考虑通过分治来解决 HALF-GCD：设 $k=min(\mathrm{deg}a,\mathrm{deg}b)$，我们首先算出 $a/z^{k/2},b/z^{k/2}$ 对应的矩阵，这样一个矩阵作用与原多项式有两部分：考虑将原来的表为 $a=a_0+a_1{z}^{k/2},b=b_0+b_1{z}^{k/2}$，那么 $ax+by$ 中，$\mathrm{deg}((a_{1}x+b_{1}y)z^{k/2})=\frac{3}{4}k+o(k)$，另外 $\mathrm{deg}(a_{0}x+b_{0}y)=\frac{3}{4}k+o(k)$ 也比较显然。接着我们将得到的两个 $\frac{3}{4}k$ 次多项式除掉前 $z^{k/4}$ 项送进去，这样又再次保证了递归返回的又是一个 $\frac{1}{4}k+o(k)$ 量级的结果，我们将两个矩阵相乘就得到了变换矩阵。而结果正好满足度数在 $\frac{k}{2}+o(k)$ 以内。时间复杂度 $T(n)=2T(n/2)+M(n)$，即 $M(n)\log n$。消耗了 $M(n)$ 的一方面是进行矩阵乘法，另一方面是可能在一些情况减少两个多项式次数的差，同时也可能发生剪枝。

综上所述，我们在 $M(n)\log n$ 的时间内完成了两个多项式的欧几里得求算，高精度整数的做法也是相似的。

这里 是一份代码，这里处理的时候是令 $k=max(\mathrm{deg}a,\mathrm{deg}b)$，理论上是差不多的，目前尚且不知道这个代码是否存在一些 edge case 上的问题，欢迎大家指正。